définition :
Soient \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) deux suites réelles
On dit que \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) sont adjacentes si...

1. \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est croissante et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) est décroissante
2. \(\forall n\in\Bbb N,u_n\leqslant v_n\)
3. \(\underset{n\to+\infty}\lim(u_n-v_n)=0\)

Théorème :
Deux suites adjacentes convergent vers la même limite
Démonstration : ^[\(\forall n\geqslant n_0\), on a : \(u_n\leqslant v_n\leqslant v_0\) (d'après les conditions 1. Et 2.)
Donc \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est croissante et majorée par \(v_0\)
Par le Théorème de convergence monotone (suites), \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge
Notons \(\ell =\underset{n\to+\infty}\lim u_n\)
De plus, on a : \(v_n = u_n+(v_n-u_n)\)
Comme \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=\ell\) et \(\underset{n\to+\infty}\lim(v_n-u_n)=0\) , le théorème sur les Opérations sur les limites implique que \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) est convergente \(et \underset{n\to+\infty}\lim v_n=\ell\)]